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可微的定義(二元函數怎麽判斷可微)

對二元函數z=f(x,y),稱它在點(x,y)可導是指它在點(x,y)處兩個一階偏導數都存在,則二元函數的連續,可導及可微的關係是

可微的定義(二元函數怎麽判斷可微)

多元函數的可導既不能推得連續,也不能推得可微。

題型一:討論二元函數的可微性

討論函數的可微性常用以下三種方法:

(1)利用可微的定義

(2)利用可微的必要條件:可微函數必可導,換言之,不可導的函數一定不可微;

(3)利用可微的充分條件:有連續的一階偏導數的函數一定可微

以上三種辦法中,方法一利用可微的定義判斷可微性最常用,此時分以下兩步進行:

  1. 考察f(x,y)在(x0,y0)處的偏導數是否都存在,如果f(x,y)在(x0,y0)處的偏導數中至少有一個不存在,則函數在(x0,y0)處不可微;如果都存在,則進行以下第二步;
  2. 考察如下極限是否成立?

可微的定義(二元函數怎麽判斷可微)

若上述極限成立,則函數在(x0,y0)處可微,否則就不可微。

例1:

可微的定義(二元函數怎麽判斷可微)

分析:利用定義證明。

證明:

可微的定義(二元函數怎麽判斷可微)

總結:本例給出一個兩個一階偏導數都不連續但函數可微的例子。

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