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向量叉乘的幾何意義(向量叉乘三階行列式)

向量叉乘的幾何意義(向量叉乘三階行列式)

如上圖所示,有一點P和線段AB,已知點P的坐標和線段兩個端點(A點和B點)的坐標。

向量法判斷點與線段的關係(一)

利用向量點乘的幾何意義,可以比較簡單求解以下幾個問題:

  • 求線段AP在線段AB上的投影長度;
  • 求點P在線段AB上的投影點的坐標;
  • 判斷點P的投影點是否在線段AB內;
  • 求∠PAB的角度值;
  • 判斷∠PAB是銳角、直角,還是鈍角。

與向量點乘類似的,可以用向量的叉乘來求解以下問題:

  • 求向量AP和AB組成的平行四邊形的麵積;
  • 若有另外一點Q,判斷向量PQ與AB是否平行;
  • 判斷點P在向量AB的左側還是右側。

向量叉乘的幾何意義(向量叉乘三階行列式)

向量的叉乘,又叫向量積、叉積。

向量a和向量b的叉積是一個向量,而不是一個標量。

向量a和向量b的叉積是一個法向量:

  • 該向量垂直於向量a和b構成的平麵,遵循右手定則。即將右手食指指向a的方向,中指指向b的方向,則此時拇指的方向即為法向量的方向。這一定則意味著叉積滿足反交換律:a x b = – b x a。
  • 該向量的模長是向量a和b組成的平行四邊形的麵積。

向量叉乘的幾何意義(向量叉乘三階行列式)

根據向量叉乘的幾何意義,則可以知道:

1、向量叉乘的結果的模長,即為這兩個向量組成的平行四邊形的麵積;

2、如果叉乘的結果為0,則兩個向量方向相同或相反,或它們任意一個的長度為0(而點乘的結果為0,則兩個向量互相垂直);

3、判斷點P在向量AB的左側還是右側,則可根據向量 ABxAP 的叉乘結果 r 來判斷,根據右手定則:

  • 若 r > 0,則點P在向量AB的左側;
  • 若 r = 0,則點P在向量AB上;
  • 若 r < 0,則點P在向量AB的右側。

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