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流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

1912年秋天,“奧林匹克”號輪船正在大海上航行,在距離這艘世界上最大遠洋輪的120米處,有一艘比它小得多的巡洋艦“豪克”號,“豪克”船長看見這艘世界第一巨輪特別興奮,疾駛著與“奧林匹克”並行前進,心裏想著“再大的巨輪,我也能與你並肩前行”。

天有不測風雲,正在加速中的“豪克”突然之間被“奧林匹克”吸引,船長完全控製不了方向,一頭向“奧林匹克”號撞來,最後釀成一件重大海難事故

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

這次海麵上的飛來橫禍,讓警察完全找不到方向,因為沒有人知道,這次事故的罪魁禍首是流體力學中的“伯努利方程”。

談到“伯努利方程”,我們要談到一個古老的數學家族,這個家族的神秘與不可預測,可以與流動的物體相媲美。

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伯努利家族:數學第一世家

伯努利家族就像是科學史上的一個奇跡,沒有人能解釋,究竟是什麽造就了伯努利家族。

這個家族曾經連續出現過十餘位數學家,這些數學家有的是歐拉的老師,有的是萊布尼茨的朋友。即使拋開理論數學不談,這個家族在工程技術乃至法律管理文學藝術等領域也是星光熠熠,僅在曆史上被人追溯過的就有120位之多,堪稱史上第一科學天團數理圈的名門望族

尤其在18世紀,更是出現了雅各布·伯努利約翰·伯努利丹尼爾·伯努利三位首屈一指的世界級數學家。他們共同在微積分的發展和應用上扮演著承前啟後的領導角色, 推動了全世界的科學發展。

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

雅各布·伯努利,他是這個家族最早的叛逆者,拋卻了這個伯努利家族積累下來的商業資源,義無反顧地走向數學深淵。這位讓父親傷透了心的家族長子,成為第一個證明了大數定律的人,概率論先驅之一解決了一係列早期的微積分問題,牛頓一生的對手萊布尼茨曾感慨世上除了他自己,雅各布最懂微積分。雅各布留下最著名的一句話是:我違父意,鑽研群星。

約翰·伯努利,他是雅各布·伯努利的弟弟,哥哥的任性給約翰帶來沉重壓力,老尼古拉把光耀門楣的重任壓在約翰肩頭,聰明的約翰為了學習數學,最後以攻讀醫科作幌子去讀大學,和萊布尼茨混得特熟。他成為了變分法奠基人,1696年曾以公信的方式提出著名的“最速降線問題”,並培養了歐拉、克萊姆、洛必塔、丹尼爾、尼古拉二世等一大批出色的數學家。

丹尼爾·伯努利,物理學家、數學家、醫學家。約翰·伯努利的兒子,伯努利家族博學廣識的代表,家族中的成就最大者,他的全部數學和力學著作、論文超過80種,數學物理方法的奠基人。1738年《流體動力學》的出版使其登上科學的高峰,成為流體力學的開山鼻祖,後人稱“流體力學之父”。

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

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“流體漩渦”中的家族紛爭

奪目的科學光輝相對應的,還有這個數學家族內部從未平息的紛爭

這個家族拋棄了世俗的財富,但對數學榮譽的追求,卻成為另一種詛咒

雅各布·伯努利和弟弟約翰·伯努利兄弟鬩牆,兩人在“雙曲餘弦函數”“降速曲線”的證明上互相攻訐,成為一生對手

雅各布臨死之時仍然不忘詆毀自己的弟弟:“如果我不久後將過世,我弟弟肯定會回到巴塞爾。他不會接受其他職位,他隻想接替我的位子。

比兄弟鬩牆更可怕的是,約翰·伯努利與丹尼爾·伯努利父子之間同樣演繹著刀光劍影的故事。

1734年,當丹尼爾·伯努利帶著巴黎科學院的大獎回到家鄉,父親約翰隻做了一個決定:把兒子趕出家門。即使是自己的兒子,約翰也無法容忍其日益展露的數學鋒芒可能會威脅自己的學術地位,這種嫉妒的心理,亦如年輕時勢要擊敗哥哥雅各布一樣,或許更為甚之。

約翰·伯努利曾經在日記中傲然寫道:“我的對手們都死在我前麵,而且都比我年輕,這是一種命運。”他一人站在高峰縱然孤獨,卻不允許任何人奪去他的光芒,哪怕是自己的兒子

數學就是套在約翰·伯努利手指上的魔戒,他要一個人徹底占有它,誰都不能染指。

丹尼爾有意回避父親的研究領域,他開始研究流體力學的知識,盡量少與父親熟悉的領域打交道。然而約翰卻被丹尼爾研究的領域深深吸引,他在丹尼爾出版著作《流體力學》之後,緊隨其後出版了一本《水力學》,且特意將寫成時間注明為1732年,試圖證明自己的優先權。可是很快,約翰的伎倆被人揭穿,由於丹尼爾寫書過程中一直與其他科學家保持交流,約翰這本書的橫空出世不能不讓人驚詫。更糟的是,約翰實際上從兒子的書中盜用了素材,剽竊了兒子的學術成就

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

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伯努利方程:弧線的魅力

《流體力學》究竟具有什麽魔力,使得父親不惜抄襲兒子的成果?

伯努利方程到底有多偉大,丹尼爾能借助它在家族和科學界揚名立萬?

1726年,通過生活中一個不起眼的奇怪現象:打開水龍頭時,為什麽流出的水會比水龍頭的出口細一些?丹尼爾發現,從水流中流出的水流壓力要低於周圍靜止的空氣,所以水流會變成一條細細的水柱,比水龍頭的出口細一些。

為了驗證自己的猜想,丹尼爾反複實驗,讓水流經一個水平的透明的玻璃管,在玻璃管上垂直插入一根透明的毛細管,然後通過觀察毛細管中液位的變化,就可以測量水流的壓力。水壓越高的話,毛細管中的液位就會被頂得越高,反之則會下降。果然不出所料,伯努利發現增加水平管中水流的速度,垂直管中的壓力就會下降,而且下降的程度與水流速度的平方成正比。所以任何流動的水流都比靜止時的壓力低,並且流速越快,壓力越低。

這一推斷即為後來著名的“伯努利原理”。

1738年,於《流體力學》一書中,丹尼爾根據伯努利原理給出了等價的數學表述“伯努利方程”:

p,代表流體中某點的壓強

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

ν,代表該流體中某點的流速

g,為重力加速度

h,該流體中某點所在的高度

ρ,為流體密度

c,為常數

在這裏,我們來解釋一下“奧林匹克”號輪船為什麽與“豪克”號相撞。

兩艘船並排航行,水麵比較窄的流速就比兩船外側的水的流速高,壓力比兩船外側的小。結果這兩艘船就會被船外側壓力較高的水擠在一起,最後發生碰撞事件。

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流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

伯努利家族延伸線:流體無限

約翰雖然在晚年與兒子丹尼爾大打出手,但在丹尼爾年青的時候,他是個合格的父親。

1725年,丹尼爾到彼得堡科學院工作,被任命為生理學院士數學院士時,父親約翰擔心兒子不能勝任,讓自己的得意門生歐拉前去當丹尼爾的助手,是的,你沒有看錯,就是那位數學史上的頂尖大神,前去給丹尼爾當“助理”。

陪太子讀書”的歐拉也沒有吃什麽虧,他在這個數學家族裏得到很多回報,他使用丹尼爾·伯努利發明的無窮插值法,完美地得到了階乘函數全實數表達式——即伽瑪函數。當他看到伯努利方程時也是興奮萬分,不過丹尼爾的方程太過淺顯直白,完全不能突顯數學第一世家的格調。況且伯努利家族一向以擅長微積分聞名於世,歐拉是一個合格的助理,他自作主張把伯努利方程升級為伯努利方程2.0

再對比一下伯努利方程,有沒有感覺到一下子從中學到了碩士的水平。此時的歐拉剛剛20歲,不愧是著名數學家兼教育家約翰.伯努利的弟子,他把動量和質量守恒植入到流體力學之中,開創了無黏流體的統一方程,雖然後世流體力學研究者萬千,優秀的數學家也不可勝數,但兩大守恒無人敢背叛……

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

不過,丹尼爾自己是怎麽想的,我們就不得而知了,不過作為歐拉一生的摯友,一半是內心竊喜的,另一半覺得這是裝逼的。

除了歐拉,作為伯努利家族的第三代外傳弟子柯西——約翰·伯努利是歐拉老師,歐拉是拉格朗日的重要影響者,拉格朗日是柯西的重要指導者。

柯西也想體現一下自己在這個數學家族中的存在感,他在伯努利方程2.0發布了一個新版本伯努利方程3.0柯西動量定理:九維張量方程

σ為張量

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

流體空間一下子從三維受力躍升到九維應力,柯西在歐拉的三維受力上一下子增加了六個剪切應力。雖然格調又上了一個台階,卻把很多本來有意研究流體力學的愛好者嚇跑了九成,餘下的一成基本也隻能望著方程發呆,直到一甲子後納維和斯托克斯發現“粘度X速度散度”可以得到剪切應力,這兩位不怕死的數學家合力推出納維-斯托克斯方程(簡稱N-S方程),科學界才開始重新認真思考流體力學方程,這一思考就是155年

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伯努利方程4.0:納維-斯托克斯方程

2000年初美國克雷數學研究所選定七個“千年大獎問題”,建立七百萬美元大獎基金。

這七個“世界難題”是:NP完全問題霍奇猜想龐加萊猜想黎曼假設楊-米爾斯存在性和質量缺口N-S方程BSD猜想,這七個問題都被懸賞一百萬美元。

這個時候距離1845年完整提出“伯努利方程4.0(N-S方程)已經過去了155年,為了求解這個非線性偏微分方程,其中不知道有多少英雄競折腰,對於這個方程,就連納維和斯托克斯自己也無可奈何N-S方程求解非常困難和複雜,除了在某些十分簡單的特例流動問題上才能求得其精確解。例如把N-S方程沿流線積分可得到粘性流體的伯努利方程:

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

不管N-S方程的求解有多艱難,但流體力學如此重要,有人的地方就有江湖,有水和空氣的地方就有流體力學,再怎麽樣也得試試。因為航天飛船離不開流體力學,水下潛艇也離不開流體力學,港珠澳大橋、南水北調工程都離不開流體力學,尋找到一種精確的求解方式是所有科學家的夢想

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

別以為計算黑洞的史瓦西解有多難,有種把小區裏那顆老蘋果樹上掉下來的葉子的軌跡計算出來才是真厲害。

就這樣,很多人算啊算啊算,就是想拿下這一世紀難題。

總結下來,求解流體的精確解主要分為兩大流派

第一個流派是理論派。這一派主要以大科學家為主,這些人一個個眼高於天,相信憑借自己天才的腦袋就可以找到一個通用公式,不一定就得臣服於伯努利家族,這些人包括麥克斯韋、玻爾茲曼……他們一個個試圖從微觀世界尋求宏觀世界的運動軌跡,破解那不可預測的流體之密。

第二個流派是實驗派。這些人都是實驗派科學家,他們相信伯努利方程是解決問題的基石,不相信那些子虛烏有的自我想像,而是想通過一個個的實驗來建立數學模型求解,什麽樣的流體就用什麽樣的模型來計算,這世界沒有實驗解決不了的問題,如果不行,那就再做一個實驗。最著名的實驗派包括以下:

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

雷諾實驗。將瞬間速度分解成隨時間統計平均速度和脈動速度。

RANS模型。假設漩渦具有粘性特質,並且假設九維張量等於漩渦粘性乘以流體的變形量。

渦粘模型。用渦粘性係數的方法來模擬湍流流動,通過渦粘度將雷諾應力和平均流場聯係起來。

N-S方程延續了伯努利方程的傳奇,就像那個神秘的數學家族一樣,我們至今還沒有破解她的奧秘。

流體力學伯努利方程(流體靜力學的伯努利公式)

結語

我們會有這樣的數學世家嗎?

多年過去,談起伯努利家族之餘,眾人依舊噓唏。

這個家族拋卻了商業世界的繁華,將畢生的價值專注於冰冷的數學,他們成就了自己在科學史上的輝煌,也帶來了生命無法承受之重:兄弟鬩牆,父子反目

這到底是一個被上天眷顧的家庭,還是一個受到智慧詛咒的族類?

從學術傳統上來說,伯努利家族繼承了惠更斯和萊布尼茲的傳統,在歐洲大陸開啟了約束運動和能量守恒為主線的力學研究,為後來開啟分析力學打下了基礎。這也可以說為後來形成的以法國、俄羅斯和德國為代表的歐洲大陸學派的傳統打下了基礎。當然,其中最閃耀的成就之一就是“伯努利方程”。

這個星光閃耀、人才濟濟的伯努利家族現象,數百年來一直受到人們關注,它給人們一個啟示:家族的“近朱者赤”,可以是天才成長的搖籃,我們有一天也會出現這樣的數學世家嗎

參考資料:

鄒立堯,陳世元等. 一種基於伯努利原理的電動汽車輔助電源研究. 《 微電機 》 , 2013

陳昱澍. 冤屈的船長——談伯努利原理. 《 中學物理 》 , 2003

黃樺,陳小敏. 教科書中伯努利原理演示實驗的誤解與正解. 《 物理教學 》 , 2017

L.朗特著,郭永懷、陸士嘉譯:《流體力學概論》,科學出版社,北京,1981。

王運東,駱廣生,劉謙.傳遞過程原理:清華大學出版社,2002

孤獨求靜,流體力學野史,2019

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