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雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

首先:更正並致歉。在上一篇文章《橢圓性質匯總》中,有細心讀者發現文中出現兩處錯誤,現聲明更正如下:

1,橢圓直徑性質證明過程更正如下:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

2,焦點三角形麵積公式更正為:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

本人再次對文章編輯過程中出現的錯誤致歉,希望大家持續關注並積極指正。

上一篇文章已對橢圓性質進行了匯總,本文對高考考點中涉及的雙曲線的部分性質進行匯總。

注:以下僅討論焦點在x軸上的雙曲線性質。

雙曲線定義

1.第一定義

平麵內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值為常數2a的動點P的軌跡叫做雙曲線,其中2a<|F1F2|。此為課本上的標準定義,不再詳述。

2.第二定義

平麵內到定點F(±c,0)的距離和到定直線l:x=±a²/c的距離之比為常數e=c/a(e>1)的點的軌跡是雙曲線。其中定點F(±c,0)為雙曲線的左右焦點,定直線l:x=±a²/c為雙曲線的左右準線。

對第二定義給出證明:

以右焦點和右準線為例:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

上述定義即可作為判定定理也可作為性質定理。

雙曲線方程

1.雙曲線標準方程

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

不再詳述。

2.雙曲線參數方程

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

注:sec為正割函數,secθ=1/cosθ

其中θ為參數,θ的幾何意義如下圖:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

以雙曲線實軸和虛軸為直徑分別做圓C1(圖中大圓)、C2(圖中小圓),對雙曲線上任一點M,做x軸垂線,垂足為A’。過A’做圓C1切線,切點為A。過圓C2與x正半軸焦點B做圓C2的切線,與過M並平行於x軸的直線交於B’點。則O、A、B’三點共線,∠AOx即為參數θ。

切線

1.雙曲線切線定理

雙曲線的任意一條切線平分切點所在的焦點三角形頂角。

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

圖中∠α=∠β,對頂角相等,切線是焦點三角形的一條角平分線。

證明從略。該性質在高考中應用較少,但其揭示了雙曲線的一條光學性質,該性質在高中數學課本上也有提及,即從雙曲線的一個焦點發出的光線,經雙曲線反射後,其反向延長線在另一個焦點匯聚。

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

2.雙曲線切線方程

過雙曲線上一點P(x0,y0)的切線方程為:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

以下用求導方法給出證明:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

上述證明過程用到了隱函數求導,高中範圍不涉及該知識點,有興趣的同學可以嚐試用二次函數判別式推導。

3.雙曲線切點弦方程

過雙曲線外一點,做雙曲線上的兩條切線(如果存在的話),切點為A,B,則過A,B的切點弦方程為:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

這裏需要注意,過雙曲線外(或上)一點做雙曲線切線,最多隻可能做兩條切線。具體見下:

4.雙曲線切線存在情況

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

如圖:雙曲線及漸近線將平麵分成ABCDEF六個區域:

1.當P位於A、B區域時,過P可在雙曲線兩支各做一條切線;

2.當P位於C、D區域時,過P可在雙曲線較近的一支做兩條切線;

3.當P位於E、F區域時,過P不能做切線;

4.當P位於雙曲線上時,過P隻可在P點所在支做一條切線;

5.當P位於漸近線上(不含原點)時,過P隻可在雙曲線較近的一支做一條切線;

6.當P位於原點時,過P不能做切線;

具體列表如下:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

直徑

過雙曲線中心的弦被稱為雙曲線的直徑。實軸是雙曲線最短的直徑,雙曲線直徑可以無限長,故雙曲線沒有最長的直徑。雙曲線直徑所在直線的斜率的絕對值必然小於漸近線斜率的絕對值。

1.雙曲線直徑性質

雙曲線上的點與雙曲線直徑兩端點連線的斜率(如果存在的話)之積是定值,定值為e²-1。

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

特別的:雙曲線上任意點到實軸兩端點連線斜率之積是定值e²-1。

2.雙曲線直徑長

雙曲線直徑長公式為:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

其中k為直徑所在直線斜率。該公式請同學們自行推導。顯然,直徑存在的充要條件是|k|<b/a。

特別的:當k=0時,上式結果為2a,即為實軸;當k趨於±b/a,即漸近線斜率時,上式結果趨於無窮大。

焦半徑

1.焦半徑長

焦半徑長:|PF1|=|ex+a|,|PF2|=|ex-a|(F1,F2分別為左右焦點,P點在右支上時,等式右端絕對值內取正,P點在左支上時取負)。

通過準線定義證明,過程略。

2.焦半徑性質

以短焦半徑為直徑的圓與以實軸為直徑的圓外切,以長焦半徑為直徑的圓與以實軸為直徑的圓內切。

以P點在右支上舉例進行證明:

證:設以PF2為直徑的圓的圓心為O2,則圓O2半徑為r2=(ex-a)/2,

以長軸為直徑的圓的圓心為坐標原點O,圓O半徑為r=a,

兩圓心距離|OO2|=(ex+a)/2=r+r2,

故以PF2為直徑的圓與以長軸為直徑的圓外切。

同理可證,以PF1為直徑的圓與以長軸為直徑的圓內切。

3.焦點弦

焦點弦長公式為:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

其中k為焦點弦所在直線斜率。該公式請同學們自行推導。

當|k|<b/a時,焦點在焦點弦延長線上,當|k|>b/a時,焦點在焦點弦上,當|k|=b/a時,焦點弦不存在(或無限長)

特別的:當k=0時,上式結果為2a,即為實軸;當k趨於無窮大時,上式結果即為通徑長:2b^2/a

4.焦點三角形

焦點三角形麵積公式:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

證明從略

雙曲線與橢圓

雙曲線兩頂點A1,A2和與y軸平行的直線交雙曲線的兩動點P1,P2,直線A1P1與A2P2的交點軌跡為等軸橢圓。反之亦然。

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

其他

1.判別式

直線方程y=kx+m與雙曲線方程聯立後的,關於x的二次方程的判別式:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

注:雙曲線在聯立方程時,首先要討論b²-a²k²是否為0,如果為0,即直線斜率與漸近線斜率一致,則聯立後關於x的方程為一次方程,不存在判別式問題。

2.一般弦長公式

雙曲線一般弦長公式:

雙曲線準線是什麽意思(雙曲線的性質及其圖解)

上述公式推導過程從略,顯然,當m=0時,公式退化為直徑公式;m=±kc,即直線過焦點時,公式退化為焦點弦公式;當|k|=b/a時,弦長不存在(或無限長)。

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