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素數是什麽(c語言判斷是否為素數)

多少學生麵對數學時那是“數學虐我千百遍,我待數學如初戀”,有的學生甚至看到數字就頭暈眼花。然而有一種數,一直是數學家們研究的香餑餑,多少數學家為了它是夜不能寐,“孤”枕難眠啊,是“數學中的女皇”,既簡單得小學生都懂,又難倒無數天才,它就是—素數。

“素數又稱質數,一個大於1的自然數,除了1和它自身外不能被其他自然數整除的數叫做質數,否則稱為合數”。比如說3、5、7就是素數,因為他們滿足自然數(自然數集是全體非負整數組成的集合,常用 N 來表示。它有無窮無盡的個數)並且大於1且除其他數的時候結果不可能為整數。

一.素數的性質

素數是什麽(c語言判斷是否為素數)

質數(素數)有很多性質我們先簡單列舉其中幾條:

1. 素數的約數隻有1和它自己,再也找不出第三個;

2. 在自然數中每一個大於1 的數,要麽本身是質數,要麽就可以分解為幾個質數之積,

並且這種分解是唯一的;

3. 素數有無窮多個;

二.素數的應用

為什麽科學家們這麽熱衷於尋找素數?一方麵,是對於自身理想的追求,孜孜不倦地在數學的高峰上攀登。但另一方麵,素數在實際場景當中卻體現很大的價值。

1.計算機信息技術中保護通信秘密的“公鑰密碼”

我們知道,要求兩個質數的乘積並不難,但要是給你兩個質數的乘積,要你分解成兩個質數,在數字稍微大一點的時候,難度就不可思議了。而質數的這一性質使其在密碼學中熠熠生輝。

利用該特點進行加密的算法叫做RSA加密算法,於1977年由羅納德·李維斯特、阿迪·薩莫爾和倫納德·阿德曼一起提出。當時他們三人都在麻省理工學院工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拚在一起組成的。RSA加密算法是一種非對稱加密算法,它在公開密鑰加密和電子商業中RSA被廣泛使用。其加密和解密過程如下:一般這樣設置的,先是收信人和寫信人商定密鑰;再次寫信人將需傳遞的信息在編碼時加入素數,傳送給收信人;最後寫信人按照密鑰解密。

奧秘在於解密的過程其實是一個尋找素數的過程,但是因為素數本身的複雜特性,使得找素數的過程即(分解質因數)時花費大量時間,從而錯過解讀信息的最佳時間

可以說素數研究是純粹數學的精華,也是支撐現代網絡經濟的基礎。我們在網購時,會發送信用卡賬號等個人信息。為了防止在此過程中個人信息被盜,必須對這些信息進行加密處理。加密處理正是運用了費馬和歐拉等數學家所發現的素數的性質.

2.在工業產品設計的應用

素數是什麽(c語言判斷是否為素數)

在汽車齒輪的設計上相鄰的兩個大小齒輪齒數設計成質數,也可增強耐用度,從而降低故障發生率。更神奇的是因為素數具有無規律變化的特點,所以以素數形式變化的導彈及魚雷,不易被敵人攔截。

3. 生物領域

北美的周期蟬(Magicicada)有著奇特的生命周期。它們要經過一段漫長的時間,每13或17年,才會成群地破土而出。

自17世紀中葉起,科學家就一直對周期蟬的生命周期困惑不已。它們遵循著相同的基本生命周期:幼蟲在地底生活13或17年,然後在夏季大量出現。它們爬上樹,蛻皮,成長為成蟲,然後在短短數周內,成蟲相遇、交配、產卵。孵化後,幼蟲會回到地底,等待下一個輪回。

為什麽是13或者17年,而不是其他數字,而恰好這個數字是素數?當這些周期蟬大量出土繁殖時,周期蟬的天敵大吃特吃,天敵有更多的營養進行繁殖,天敵數量將會大大增加。假設天敵是6年才能性成熟,它的後代又要6年之後才會性成熟繁殖,因為沒有周期蟬吃,它們的數量一直是回落的。再假設周期蟬的周期是18年,那麽天敵們將在第18年繼續大吃特吃,在這個18年周期內產生了更多的天敵,這樣每過18年,天敵的總數不斷上漲,周期蟬的數量就越來越少了。同理,周期是16年的周期蟬,很可能會被周期為2、4、8年的天敵吃到絕種。

素數是什麽(c語言判斷是否為素數)

而13年蟬和17年蟬剛好避過了這些可能性,因為13和17是素數,除非天敵每年繁殖,或者剛好13或17年繁殖,否則不可能成為幫助天敵進行繁殖。因為13年蟬和17年蟬選擇了素數的生命周期,大幅度降低了幫助天敵繁殖的機會,使得自己能夠生存到今天。

數學之美,無處不在。就以素數這個特性而言,一方麵,人類在計算機的加密算法上,運用到了素數分布的特性;另一方麵,大自然按照既定的規律自然運行,卻也產生素數周期的特性,素數周期的生物產生了最大的適應性,實在令人驚歎。這讓人聯想到,諸如蘊含費波那契數列的鬆果,具有分形結構的山川河流,與其說這是自然界的神工鬼斧,倒不如說,這是數學規律幕後主使的結果。

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三.素數的猜想

1. 哥德巴赫猜想

它可是世界近代三大數學難題的其中之一。1742年6月7日哥德巴赫寫信給歐拉提出:“隨便取某一個奇數可以把它寫成三個素數之和”,今日常見陳述為歐拉的版本,即

任一大於2的偶數都可寫成兩個素數之和。比如77可寫成三個素數之和,即77=53+17+7;再比如461,可寫成461=449+7+5,也為三個素數之和461=257+199+5,仍然是三個素數之和。

2. 孿生素數猜想

它可是數論中的著名未解決問題,可以被描述為“存在無窮多個素數p,並且對每個p而言有p+2這個數也是素數”,那麽是否存在無窮多的孿生素數?

3.梅森素數

素數是什麽(c語言判斷是否為素數)

還在研究當中。最早迷上質數的人,有文字資料可查的最早迷上質數的人是歐幾裏得,他是公元前300多年的人,如果生在中國,大約跟秦王嬴政爺爺的歲數是差不多的,他當時用了一種反證法,證明了質數有無窮多個。

神父兼數學家,叫梅森,他也構造出另外一個公式,這個公式可以說就是2的 p 次方再減1,如果這個p 是質數的話,這個公式算出來的數也是質數,常記為梅森數Mp。如果梅森數是素數,就稱為梅森素數。梅森數越大,也就越難出現。目前僅發現51個梅森素數,最大的是M82589933(即2的82589933次方減1),有24862048位數。如果用普通字號將它打印下來,其長度將超過100公裏。

4. 黎曼猜想

被認為是數學史上最偉大的猜想,可用來描述質數的分布。它源自黎曼發表的《論小於給定數值的素數的個數》。正如劍橋大學著名數學家戈弗雷·哈羅德·哈代所說的那樣,這些數字之所以是質數,“並不是因為我們認為它們是質數,也不是因為人類特定的思維方式使然,而是因為它們本身就是質數,因為數學現實就是這麽構建的”。

奇妙的素數啊,讓世界上的數學家們百思不得其解,又癡迷於其中不可自拔。素數有如此眾多知識內涵,如此高貴而神秘,不得不感歎,怪不得數學家們對素數這麽感興趣。

素數是什麽(c語言判斷是否為素數)

最後,以匈牙利數學家保羅·埃爾德什的一句名言作為結束: “至少還要再過100萬年,我們才可能理解 素數。”

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